高三数学：三角函数与解三角形终极全公式手册

高三数学三角函数全公式汇总手册

1. 基本定义与同角三角函数关系

在平面直角坐标系中，设角 $\alpha$ 终边上任意一点 $P$ 的坐标为 $(x, y)$，$P$ 到原点的距离为 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$。

• 正弦： $\sin \alpha = \frac{y}{r}$
• 余弦： $\cos \alpha = \frac{x}{r}$
• 正切： $\tan \alpha = \frac{y}{x}$ ($x \neq 0$)

同角三角函数基本关系式

• 平方关系： $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
• 商数关系： $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

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2. 特殊角三角函数值表

角度 (deg)	弧度 (rad)	$\sin$	$\cos$	$\tan$
$0^{\circ}$	$0$	$0$	$1$	$0$
$30^{\circ}$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$45^{\circ}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$60^{\circ}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
$90^{\circ}$	$\frac{\pi}{2}$	$1$	$0$	不存在
$120^{\circ}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$
$135^{\circ}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-1$
$150^{\circ}$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$180^{\circ}$	$\pi$	$0$	$-1$	$0$
$270^{\circ}$	$\frac{3\pi}{2}$	$-1$	$0$	不存在
$360^{\circ}$	$2\pi$	$0$	$1$	$0$

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3. 诱导公式 (口诀：奇变偶不变，符号看象限)

3.1 四大基础公式

• $\sin(k\pi + \alpha) = (-1)^k \sin \alpha$
• $\cos(k\pi + \alpha) = (-1)^k \cos \alpha$
• $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$
• $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$
• $\tan(-\alpha) = -\tan \alpha$

3.2 互余变换公式

• $\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha$
• $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha$
• $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha$
• $\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin \alpha$

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4. 和差角与倍角公式

4.1 和差角公式

• $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
• $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
• $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}$

4.2 二倍角公式

• $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$
• $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2\sin^2 \alpha$
• $\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$

4.3 降幂公式

• $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$
• $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$

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5. 辅助角公式

$$a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(x + \phi)$$

其中 $\tan \phi = \frac{b}{a}$，$\phi$ 的象限由点 $(a, b)$ 决定。

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6. 高阶冲刺必备公式

6.1 万能公式

设 $t = \tan \frac{\alpha}{2}$，则：

• $\sin \alpha = \frac{2t}{1 + t^2}$
• $\cos \alpha = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$
• $\tan \alpha = \frac{2t}{1 - t^2}$

6.2 和差化积公式

• $\sin \theta + \sin \phi = 2 \sin \frac{\theta + \phi}{2} \cos \frac{\theta - \phi}{2}$
• $\sin \theta - \sin \phi = 2 \cos \frac{\theta + \phi}{2} \sin \frac{\theta - \phi}{2}$
• $\cos \theta + \cos \phi = 2 \cos \frac{\theta + \phi}{2} \cos \frac{\theta - \phi}{2}$
• $\cos \theta - \cos \phi = -2 \sin \frac{\theta + \phi}{2} \sin \frac{\theta - \phi}{2}$

6.3 积化和差公式

• $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]$
• $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]$
• $\sin \alpha \sin \beta = -\frac{1}{2} [\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)]$

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7. 解三角形定理与结论

在 $\triangle ABC$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$。

7.1 正弦定理

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \quad \text{($R$ 为外接圆半径)}$$

7.2 余弦定理

• $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
• $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

7.3 射影定理 (边角互化必备)

• $a = b \cos C + c \cos B$
• $b = a \cos C + c \cos A$
• $c = a \cos B + b \cos A$

7.4 三角形面积公式

• $S = \frac{1}{2} ab \sin C = \frac{1}{2} bc \sin A = \frac{1}{2} ac \sin B$
• $S = r \cdot p \quad \text{($r$ 为内切圆半径，} p = \frac{a+b+c}{2}\text{)}$
• $S = \frac{abc}{4R} \quad \text{($R$ 为外接圆半径)}$

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8. 三角函数的图像与性质

对于标准复合函数 $y = A \sin(\omega x + \phi) + B \quad (A>0, \omega>0)$：

1. 振幅： $A$
2. 周期： $T = \frac{2\pi}{\omega}$
3. 频率： $f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$
4. 相位： $\omega x + \phi$；初相： $\phi$